最短路算法

2023秋第十二周最短路

image-20231120112217393

更多有关于最短路的详细证明，可以参考最短路 - OI Wiki (oi-wiki.org)

由于图论题更多在于抽象问题建图的过程，故在此不详细给出原理和证明，侧重讲解实现方法。

最短路的重要性质

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的结点。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的边。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 $n$，边数不会超过 $n-1$。

单源最短路

正权图：Dijkstra

对于边 $(u,v)$，松弛操作对应下面的式子：$dis(v) = \min(dis(v), dis(u) + w(u, v))$。

这么做的含义是显然的：我们尝试用 $S \to u \to v$（其中 $S \to u$ 的路径取最短路）这条路径去更新 $v$ 点最短路的长度，如果这条路径更优，就进行更新。

朴素版：常用于稠密图，点数的平方和边数很接近

原理：某个点的最短路，肯定是由某条从起点开始，到达上一个点的最短路更新而来

做法：迭代n次，每次在未确定最短路的点里找到一个距离起点最近的点，这个节点必然是一个最短路，标记为已确定最短路的点，然后遍历所有出边，更新该点可以到达的其他点的最短路

代码实现：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
void dijkstra(int n, int s) {
    // 把dist数组中的每一个字节初始化为0x3f
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[s] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        // 找到距离起点最近的点，记为t
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        }
        // 标记t，st[t] = true代表t这个点已经找到了最短路
        st[t] = true;

        if (t == n) break;
        // 现在，距离起点最近的点就是点t
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
            if (g[t][j] == -1) continue;
            // 满足三角形不等式，那就更新最短路
            if (dist[j] > dist[t] + g[t][j]) {
                dist[j] = dist[t] + g[t][j];
            }
        }
    }
}

堆优化版：常用于稀疏图，点数的平方远大于边数

注意：在稠密图下，堆优化版有可能比朴素版要慢

原理：某个点的最短路，肯定是由某条从起点开始，到达上一个点的最短路更新而来

做法：利用堆去维护当前距离起点最近的点，每次取堆顶元素，标记该节点u为已确定点，利用该节点取更新所有出点v，如果能够满足$dist[v] > dis[u] + w$，则更新v节点的最短路，并将其放入堆中

代码实现（priority_queue版）：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2e5 + 10;

int n, m;
int d[N];
int e[N], w[N], h[N], ne[N], idx;
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[++ idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}

int dijkstra() {
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
	// greater<PII>
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > q;
    d[1] = 0;
    q.push({0, 1});

    while (q.size()) {
        PII t = q.top();
        q.pop();

        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;

        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (d[j] > d[u] + w[i]) {
                d[j] = d[u] + w[i];
                q.push({d[j], j});
            }
        }
    }

    if (d[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    else return d[n];
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) {
        int x, y, c;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &c);
        add(x, y, c);
    }

    cout << dijkstra() << endl;

    return 0;
}

存在负权边：

Bellman-Ford

  • 可以求经过最多k条边的最短路
  • 也可以用于求带负权边的最短路和找负环，但由于复杂度过高，一般用SPFA

原理：迭代k次，每次遍历所有边（注意，不是点，和dijkstra不同），对于一条边，利用起点的dist值去更新终点的dist值

先介绍 Bellman–Ford 算法要用到的松弛操作（Dijkstra 算法也会用到松弛操作）。

对于边 $(u,v)$，松弛操作对应下面的式子：$dis(v) = \min(dis(v), dis(u) + w(u, v))$。

这么做的含义是显然的：我们尝试用 $S \to u \to v$（其中 $S \to u$ 的路径取最短路）这条路径去更新 $v$ 点最短路的长度，如果这条路径更优，就进行更新。

Bellman–Ford 算法所做的，就是不断尝试对图上每一条边进行松弛。我们每进行一轮循环，就对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，算法停止。

代码实现：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
const int N = 510, M = 10010;

int n, m, k;
int d[N], last[N];
struct Edge{
    int a, b, w;
}e[M];

int bellman_ford() {
    memset(d, 0x3f, sizeof d);

    d[1] = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i ++ ) {
        // 拷贝数据，防止“串联”现象发生
        memcpy(last, d, sizeof d);
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ) {
            int a = e[j].a, b = e[j]. b, w = e[j]. w;
            d[b] = min(d[b], last[a] + w);
        }
    }
	
    // 由于有负权边的存在，这里不是0x3f3f3f3f
    if (d[n] >= 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    else return d[n];
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int x, y, w;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
        e[i] = {x, y, w};
    }

    int t = bellman_ford();
    if (t == -1) printf("impossible\n");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

SPFA

1.求带负权边的最短路

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
int n, m;
int d[N];
int e[N], h[N], w[N], ne[N], idx;
bool st[N];

void add(int a, int b, int c) {
    e[++idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}

int spfa() {
    memset(d, 0x3f, sizeof d);

    queue<int> q;
    d[1] = 0;
    q.push(1);

    while (q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (d[j] > d[t] + w[i]) {
                d[j] = d[t] + w[i];
                if (!st[j]) q.push(j);
            }
        }
    }

    if (d[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    else return d[n];
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- ) {
        int x, y, w;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
        add(x, y, w);
    }

    int t = spfa();

    if (t == -1) printf("impossible\n");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

2.找负环

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1e5 + 10;

struct Edge {
    int to, w;
};
vector<Edge> g[N];
int dist[N], cnt[N];
bool st[N]; // 记录是否在队列中

// 对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 $n$，边数不会超过 $n-1$。
bool spfa(int n) {
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    memset(st, 0, sizeof(st));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    dist[1] = 0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = false;
        for (auto e : g[u]) {
            int v = e.to, w = e.w;
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                // 根据负环性质，判定为存在负环，直接返回
                if (cnt[v] >= n) return true;
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) g[i].clear();
    while (m --) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        if (c >= 0) {
            g[a].push_back({b, c});
            g[b].push_back({a, c});
        } else {
            g[a].push_back({b, c});
        }
    }

    bool t = spfa(n);
    if (t) cout << "YES\n";
    else cout << "NO\n";
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T --) {
        solve();
    }
    return 0;
}

多源汇最短路

Floyd算法

可以解决多源汇最短路，也可以解决传递闭包问题（相当于边权都为1的最短路）

思想：利用动态规划的思想，设$dist[i][j]$为从i出发到j的最短路，$dist[i][k]$为从i出发到k的最短路，$dist[k][j]$为从k出发到j的最短路，则$dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])$

做法：

初始化每个点到自己的最短路为0，其余最短路为正无穷

迭代n次，最外层枚举中间节点k，内两层分别枚举起点和终点，利用上述公式更新所有最短路

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
const int N = 210, INF = 1e9;

int n, m, k;
int d[N][N];

void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    // 初始化，当i和j相等表示自己走到自己，路径长度为0，其余均视作无穷大
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;

    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) {
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        d[x][y] = min(d[x][y], z);	// 由于求最短路，只需要保留最短边即可
    }

    floyd();
	
    // 处理输出结果
    while (k -- ) {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if (d[x][y] >= INF / 2) printf("impossible\n");
        else printf("%d\n", d[x][y]);
    }

    return 0;
}
传递闭包

从数学上来说，传递闭包是在集合$X$上求包含关系 $R$的最小传递关系。从关系图的角度来说，就是如果原关系图上有 $i$ 到 $j$ 的路径，则其传递闭包的关系图上就应有从 $i$ 到 $j$ 的边。通俗地讲，就是确定每个点是否能到达其他每个点。

只需要将floyd算法中求最短路的部分替换为或运算即可

1
2
3
4
5
6
void floyd() {
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] |= d[i][k] && d[k][j];
}
#图论 #最短路
最短路算法
https://www.lry666.cn/posts/315/
作者
LRY666
发布于
2023年11月20日
许可协议